《改变世界的数学》李祥兆

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《改变世界的数学》李祥兆【文字版_PDF电子书_】

内容简介：

本书以数学发展过程中几个改变世界的重要分支为切入点，通过讲述数学成就、应用案例及数学家的传奇故事，凸显数学在改变世界方面的关键创新与实际应用，助力读者提升数学素养，深刻理解数学对人类文明发展的深远影响。

全书16章基本上循着历史脉络徐徐展开。第1章是对数学及其文化的总体概述，帮助读者建立起对数学的整体认知;第2章回溯记数方法的诞生历程，探寻数学的源头;第3章和第4章深入解析古希腊数学和中国古代数学，呈现出演绎化与算法化这两条并行的数学发展之路，让读者领略不同文明孕育的数学智慧结晶;第5章第11章系统讲述数论、代数、几何、微积分、概率统计、非欧几何、无穷理论等分支的演进故事，展现人类对世界的认知如何随数学发展不断深化;第12章聚焦20世纪初数学公理化运动与数学基础论争，呈现数学大厦在根基层面的思想交锋;第13章第15章展现数学在现实中的广泛应用，从与计算机的协同发展、对航海事业的动，到在现代各领域发挥的关键作用，带领读者直观感受数学如何塑造我们的生活与世界;第16章介绍21世纪以来的数学新进展及当代数学家的探索成果。

作者简介：

李祥兆博士，毕业于华东师范大学教育学专业，现为上海海事大学教师，主讲高等数学、微积分、数学文化、数学史等课程，对数学文化和数学史有较深入的研究，目前已出版相关着作三部。

目  录：

序

前言

第1章 导论 / 1

1.1 数学改变世界 / 1

1.2 什么是数学 / 5

1.2.1 数学文化观 / 6

1.2.2 数学的定义 / 9

1.3 数学对象的历史演进 / 15

1.3.1 几何学的诞生 / 16

1.3.2 代数学的兴起 / 17

1.3.3 解析几何与微积分的出现 / 19

1.3.4 20世纪以来的数学 / 21

1.4 数学交流 / 23

1.5 数学文化的普及 / 27

第2章 数学的诞生 / 33

2.1 数感与记数法 / 33

2.2 早期文明的记数系统 / 36

2.2.1 中国古代的算筹记数法和干支记数法 / 36

2.2.2 古巴比伦的楔形数字 / 43

2.2.3 古埃及的象形数字 / 44

2.2.4 其他文明的记数方法 / 47

2.3 神秘的数字 / 49

2.3.1 中华文化的源头—河图与洛书 / 50

2.3.2 来自西方的神秘数字 / 55

第3章 古希腊数学 / 58

3.1 毕达哥拉斯与勾股定理 / 60

3.1.1 毕达哥拉斯的“万物皆数” / 60

3.1.2 勾股定理 / 63

3.1.3 无理数与黄金分割 / 64

3.2 柏拉图与亚里士多德的方法论 / 66

3.2.1 柏拉图学园 / 67

3.2.2 亚里士多德的吕园 / 68

3.3 欧几里得的《几何原本》 / 69

3.3.1 《几何原本》的公理化体系 / 71

3.3.2 《几何原本》中的勾股定理 / 73

3.3.3 《几何原本》的文化意义 / 74

3.4 古希腊三大作图问题与圆锥曲线 / 77

3.4.1 古希腊三大作图问题 / 77

3.4.2 圆锥曲线 / 80

3.5 “数学之神”阿基米德 / 82

第4章 中国古代数学 / 88

4.1 刘徽与《九章算术》 / 89

4.1.1 《九章算术》 / 89

4.1.2 以率术 / 92

4.1.3 出入相补原理 / 95

4.1.4 徽率 / 97

4.2 祖冲之与球体积公式 / 98

4.3 宋元数学四大家 / 101

4.3.1 秦九韶与“中国剩余定理” / 102

4.3.2 杨辉与纵横图 / 106

4.3.3 李冶与天元术 / 108

4.3.4 朱世杰与四元术 / 111

4.4 中国古代数学的特征 / 114

4.4.1 算法化 / 114

4.4.2 实用性 / 115

4.4.3 寓理于算 / 117

第5章 素数之美 / 120

5.1 素数 / 121

5.1.1 素数有无限多个 / 122

5.1.2 寻找梅森素数 / 123

5.1.3 素数的分布 / 126

5.2 数学猜想 / 131

5.2.1 哥德巴赫猜想 / 131

5.2.2 费马猜想 / 133

5.2.3 黎曼猜想 / 138

5.3 素数的应用 / 143

5.3.1 哈代–温伯格定律 / 143

5.3.2 华罗庚破译日军密码 / 144

5.3.3 大自然中的素数—十七年蝉 / 148

第6章 方程求解与代数学的发展 / 150

6.1 从简写代数到符号代数 / 151

6.1.1 丢番图的“简写代数” / 151

6.1.2 花拉子米与海亚姆的代数学 / 153

6.1.3 婆什迦罗的代数学 / 157

6.1.4 斐波那契的《计算之书》 / 158

6.1.5 卡尔达诺的一元三次方程求根公式 / 160

6.1.6 韦达的符号代数 / 164

6.2 一元五次方程 / 166

6.2.1 一元五次方程无根式解 / 166

6.2.2 方程有根式解的条件 / 169

6.2.3 伽罗瓦的群论 / 170

6.3 虚数不虚 / 171

6.3.1 数系的自然扩充 / 172

6.3.2 复数与超复数 / 174

6.3.3 虚数在自然界的应用 / 182

第7章 数形结合 / 184

7.1 笛卡儿与方法论 / 185

7.1.1 解析几何之父—笛卡儿 / 185

7.1.2 方法论 / 188

7.2 曲线与方程 / 189

7.2.1 曲线与方程的结合 / 190

7.2.2 曲线与方程的分类 / 190

7.2.3 费马的斜坐标系 / 191

7.2.4 两者工作的比较 / 192

7.3 解析几何的意义 / 193

7.3.1 对于科学的发展 / 193

7.3.2 对于代数学的发展 / 194

7.3.3 对于几何学的发展 / 195

第8章 微积分的力量 / 198

8.1 早期积分方法的发展 / 199

8.1.1 刘徽的积分方法—“割圆术” / 200

8.1.2 阿基米德的积分方法—“平衡法” / 200

8.1.3 开普勒的积分方法—“量分割法” / 202

8.1.4 卡瓦列利的不可分量原理 / 202

8.2 近代微分方法的发展 / 204

8.2.1 费马的切线法 / 204

8.2.2 笛卡儿的圆法 / 205

8.2.3 巴罗的特征三角形 / 205

8.3 微积分理论的创立 / 206

8.3.1 牛顿的微积分 / 207

8.3.2 莱布尼茨的微积分 / 213

8.3.3 优先权之争 / 216

8.4 微积分理论的严格化 / 221

8.4.1 柯西的极限方法 / 222

8.4.2 魏尔斯特拉斯的分析算术化 / 223

8.4.3 实数理论 / 226

第9章 概率与统计 / 231

9.1 概率论 / 232

9.1.1 赌博问题与帕斯卡三角形 / 233

9.1.2 伯努利大数定律 / 236

9.1.3 拉普拉斯的分析概率论 / 237

9.1.4 柯尔莫哥洛夫的概率的公理化体系 / 238

9.1.5 概率论的应用 / 240

9.2 数理统计 / 246

9.2.1 格朗特的死亡统计表 / 247

9.2.2 凯特勒的正态分布曲线 / 248

9.2.3 高尔顿的相关与回归理论 / 250

9.2.4 数理统计学的应用 / 253

第10章 非欧几何 / 259

10.1 罗巴切夫斯基几何学的创立 / 260

10.1.1 对“第五公设”的疑惑 / 260

10.1.2 非欧几何思想的萌芽 / 262

10.1.3 罗巴切夫斯基几何学的诞生 / 263

10.2 欧几里得几何与非欧几何的比较 / 269

10.2.1 黎曼几何 / 269

10.2.2 三种几何学的比较 / 271

10.2.3 非欧几何的文化意义 / 272

第11章 无穷的世界 / 278

11.1 伽利略的困惑 / 280

11.2 康托尔与集合论 / 282

11.2.1 集合论的创始人—康托尔 / 282

11.2.2 有理数集是可数的 / 283

11.2.3 实数集是不可数的 / 284

11.2.4 无穷集的基数 / 286

11.3 连续统假设 / 287

第12章 数学基础危机 / 290

12.1 公理集合的性质 / 291

12.2 希尔伯特的《几何基础》 / 292

12.2.1 《几何原本》的缺陷 / 292

12.2.2 《几何基础》 / 293

12.3 罗素悖论与三大数学学派 / 297

12.3.1 罗素悖论 / 298

12.3.2 三大数学学派 / 300

第13章 数学与计算机 / 304

13.1 现代计算机的先驱 / 305

13.1.1 算盘与对数尺 / 305

13.1.2 早期的计算器 / 307

13.1.3 算法与图灵机 / 309

13.1.4 科学技术与数学的结合 / 314

13.2 机器证明 / 318

13.2.1 吴文俊与数学机械化 / 318

13.2.2 四色猜想的机器证明 / 322

13.3 分形的计算机迭代 / 326

13.3.1 分形几何 / 326

13.3.2 分形的迭代原理及其应用 / 330

13.4 开普勒猜想的计算机证明 / 333

13.4.1 开普勒猜想的提出 / 333

13.4.2 海尔斯的计算机证明 / 336

第14章 数学与航海 / 339

14.1 早期人类对航海的探索 / 341

14.1.1 大地是球形的 / 341

14.1.2 测量地球的周长 / 342

14.2 轰轰烈烈的大航海时代 / 343

14.2.1 如何把握航向 / 343

14.2.2 如何确定纬度 / 346

14.2.3 如何确定经度 / 349

14.2.4 地图绘制的数学原理 / 351

14.2.5 船舶技术中的数学 / 356

14.3 现代航海之路 / 359

14.3.1 卫星导航系统 / 360

14.3.2 船舶雷达系统 / 360

14.3.3 航海技术的智能化 / 361

第15章 现代数学应用 / 363

15.1 数学应用概述 / 364

15.2 数学模型方法 / 366

15.3 现代数学应用案例 / 371

15.3.1 案例1—CT扫描中的数学 / 371

15.3.2 案例2—DNA结构中的数学 / 375

15.3.3 案例3—激光照排技术中的数学 / 380

15.3.4 案例4—密码中的数学 / 382

15.3.5 案例5—金融中的数学 / 387

第16章 21世纪的数学 / 392

16.1 数学的统一性 / 394

16.1.1 希尔伯特的数学统一观 / 395

16.1.2 阿蒂亚的数学统一观 / 396

16.1.3 丘成桐的时空统一观 / 397

16.2 庞加莱猜想 / 400

16.2.1 千禧年七大数学难题 / 401

16.2.2 庞加莱猜想的提出与解决 / 403

16.3 张益唐与孪生素数猜想 / 407

16.3.1 孪生素数猜想 / 407

16.3.2 大器晚成的华裔数学家—张益唐 / 409

16.4 当代亚裔数学天才 / 411

16.4.1 华裔数学天才陶哲轩 / 411

16.4.2 越南位菲尔兹奖得主—吴宝珠 / 413

16.4.3 韩国位菲尔兹奖得主—许埈珥 / 415

16.4.4 印度的数学天才—拉马努金与巴尔加瓦 / 419

参考文献 / 423

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数学史 数学文化 数学应用

摘要：本篇文章以《改变世界的数学》李祥兆为中心，对作品的思想内涵、学术价值、现实意义与文化影响进行系统阐述。文章首先概括全书主旨，指出数学不仅是工具，更是一种改变人类文明进程的思想力量。随后从四个方面展开分析：其一探讨数学如何塑造人类认知结构，其二阐明数学在科技与社会发展中的核心作用，其三解析作者李祥兆的写作理念与表达方式，其四论述该书对当代教育与未来社会的启示。通过多角度、多层次的论证，展现《改变世界的数学》在知识传播与思想启迪方面的独特价值。文章最后对全文进行总结，强调数学精神在现代世界中的深远意义，力求为读者提供一幅清晰而宏阔的思想图景。

1、数学塑造认知

《改变世界的数学》首先从人类认知的根源入手，指出数学并非抽象符号的堆砌，而是一种塑造思维方式的核心力量。李祥兆认为，人类对世界的理解，很大程度上依赖于数量、结构和逻辑关系的把握。

在书中，作者通过历史案例说明，数学思维使人类能够突破感官局限，将复杂现象转化为可分析的模型。这种转化能力，正是科学理性得以建立的重要基础。

数学所训练的严密逻辑、抽象概括和推理能力，使人类在面对未知问题时，能够形成系统性的思考路径。这种思维方式不仅适用于科学研究，也深刻影响着哲学、经济与社会决策。

李祥兆强调，数学改变世界，首先是改变人类看待世界的方式。当思维变得精确而有序，文明的发展方向也随之发生转变。

2、数学推动文明

在论述数学与文明进程的关系时，《改变世界的数学》展示了数学在科技革命中的基础性地位。从古代天文历法到现代信息技术，数学始终是推动技术突破的核心引擎。

作者指出，工业革命之所以能够发生，与数学模型在工程设计和生产管理中的应用密不可分。数学让自然规律变得可计算，从而被人类有效利用。

进入现代社会，数学更深度地嵌入经济体系、金融系统和社会治理之中。概率论、统计学和算法模型，正在重塑人类的生产与生活方式。

李祥兆通过这些分析说明，数学不仅记录文明，更直接参与文明的塑造，是隐藏在社会运行背后的无形结构。

3、作者思想特色

李祥兆在《改变世界的数学》中展现出鲜明的思想特色。他并未将数学局限于学科内部，而是将其放置于广阔的人类文化背景中进行审视。

作者善于通过生动的历史叙述与现实案例，将抽象的数学思想转化为可感知的故事，使读者在阅读中产生思想共鸣。

在表达方式上，李祥兆注重逻辑的严谨与语言的平衡。他避免过度专业化的术语堆砌，使非数学背景的读者也能理解数学的深层意义。

这种跨学科、跨文化的写作方法，使《改变世界的数学》不仅是一部科普著作，更是一部具有思想深度的文化读本。

4、现实教育启示

《改变世界的数学》对当代教育提出了重要启示。李祥兆认为，数学教育的核心不应仅停留在解题技巧，而应着力培养学生的思维能力。

书中批判了功利化的学习模式，指出忽视数学精神，会导致学生失去对知识本质的理解，从而限制其长远发展。

作者倡导以问题为导向的教学方式，引导学生在探索中体会逻辑之美与结构之美，从而真正理解数学的价值。

在未来社会中，面对人工智能与数据时代的挑战，具备数学思维的人才将更能适应复杂多变的环境，这也是本书所强调的重要方向。

总结：

综观全文，《改变世界的数学》李祥兆通过对数学思想的深入剖析，揭示了数学在人类认知、社会发展与文明演进中的根本作用。数学不仅是一门学科，更是一种塑造世界的力量。

本书以宽广的视角与平实的语言，唤醒读者对数学精神的重新认识，提示我们在技术飞速发展的时代，更应重视理性、逻辑与思想的根基。

本文由nayona.cn整理

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