《证明的故事：从勾股定理到现代数学》【澳】约翰·史迪威

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《证明的故事：从勾股定理到现代数学》【澳】约翰·史迪威【文字版_PDF电子书_】

内容简介：

证明是数学思想中最重要，也是极具开拓性的特征之一。没有证明，就无法谈论真正的数学。本书讲述了证明的演变及其在数学中的重要作用和启发意义。从古希腊几何学时代开始，涵盖代数、微积分、集合、数论、拓扑、逻辑等几乎全部数学分支中的证明故事。我们将看到欧几里德、康托尔、哥德尔、图灵等数学大师的精彩发现和发明。这本书不是教材，它是在讲数学的历史，更是在讲数学思想的演变。作者揭示了数学学习和研究的底层方法和逻辑，让读者看到在数学中什么定理可以被证明，如何证明?什么问题可以(或无法)被解决?为数学研究和发展打开全新的视角。

作者简介：

[澳] 约翰.史迪威(John Stillwell)

澳大利亚数学家，美国麻省理工学院博士，旧金山大学荣休教授，首届美国数学学会会士(Fellow)。1994年国际数学家大会特邀报告人。

2005年荣获美国数学协会享有盛誉的“肖夫内奖”(Chauvenet Prize)。他是优秀的数学作者，本书和《数学及其历史》均为其代表作。

目  录：

序言 iv

第 1章　欧几里得之前 1

1.1　勾股定理 2

1.2　勾股数组 4

1.3　无理数 7

1.4　从无理数到无穷 8

1.5　对无穷的敬畏 11

1.6　欧多克斯 12

1.7　附注 15

第 2章　欧几里得 16

2.1　定义、定理和证明 17

2.2　等腰三角形定理与SAS 19

2.3　平行公设的变体 22

2.4　再谈勾股定理 25

2.5　代数概览 26

2.6　数论与归纳法 29

2.7　几何级数 32

2.8　附注 36

第3章　欧几里得之后 38

3.1　关联 39

3.2　顺序 40

3.3　合同 43

3.4　完备 44

3.5　欧几里得平面 47

3.6　三角形不等式 49

3.7　射影几何 50

3.8　帕普斯定理和德萨格定理 54

3.9　附注 58

第4章　代数 60

4.1　二次方程 61

4.2　三次方程 63

4.3　作为“普遍算术”的代数 67

4.4　多项式与对称函数 68

4.5　近世代数：群 72

4.6　近世代数：域与环 76

4.7　线性代数 80

4.8　近世代数：向量空间 81

4.9　附注 85

第5章　代数几何 91

5.1　圆锥曲线 92

5.2　费马和笛卡儿 94

5.3　代数曲线 96

5.4　三次曲线 100

5.5　贝祖定理 102

5.6　线性代数和几何 104

5.7　附注 106

第6章　微积分 108

6.1　从列奥纳多到哈里奥特 109

6.2　无穷求和 111

6.3　牛顿的二项式级数 115

6.4　巴塞尔问题的欧拉解法 118

6.5　变化率 120

6.6　面积和体积 124

6.7　无穷小代数和几何 128

6.8　级数微积分 134

6.9　代数函数及其积分 138

6.10　附注 141

第7章　数论 144

7.1　初等数论 145

7.2　再谈勾股数组 149

7.3　费马最后定理 154

7.4　数论中的几何与微积分 157

7.5　高斯整数 163

7.6　代数数论 171

7.7　代数数域 174

7.8　环和理想 178

7.9　整除和素理想 183

7.10　附注 186

第8章　代数基本定理 190

8.1　在证明之前的定理 190

8.2　代数基本定理的早期“证明”及其漏洞 193

8.3　连续性和实数 195

8.4　戴德金对实数的定义 196

8.5　代数学家的基本定理 198

8.6　附注 200

第9章　非欧几里得几何 201

9.1　平行公设 202

9.2　球面几何 203

9.3　球面几何的平面模型 207

9.4　微分几何 209

9.5　常曲率几何 214

9.6　贝尔特拉米的双曲几何模型 218

9.7　复数的几何 222

9.8　附注 224

第 10章　拓扑学 227

10.1　图 228

10.2　欧拉多面体公式 233

10.3　欧拉示性数和亏格 237

10.4　作为曲面的代数曲线 239

10.5　曲面的拓扑 242

10.6　曲线奇点和纽结 247

10.7　赖德迈斯特移动 250

10.8　简单的纽结不变量 253

10.9　附注 258

第 11章　算术化 260

11.1　 的完备性 261

11.2　直线、平面和空间 263

11.3　连续函数 263

11.4　定义“函数”和“积分” 265

11.5　连续性和可微性 271

11.6　一致性 273

11.7　紧致性 277

11.8　编码连续函数 281

11.9　附注 283

第 12章　集合论 288

12.1　无穷简史 289

12.2　等势集合 291

12.3　与 等势的集合 297

12.4　序数 299

12.5　用集合实现序数 301

12.6　根据秩对集合排序 305

12.7　不可达性 306

12.8　无穷的悖论 307

12.9　附注 308

第 13章　数、几何和集合的公理 312

13.1　皮亚诺算术 313

13.2　几何公理 316

13.3　实数的公理 318

13.4　集合论的公理 319

13.5　附注 322

第 14章　选择公理 324

14.1　选择公理和无穷 325

14.2　选择公理和图论 326

14.3　选择公理和分析学 327

14.4　选择公理和测度论 329

14.5　选择公理和集合论 332

14.6　选择公理和代数学 333

14.7　更弱的选择公理 337

14.8　附注 340

第 15章　逻辑与计算 342

15.1　命题逻辑 343

15.2　命题逻辑的公理 345

15.3　谓词逻辑 350

15.4　哥德尔完备性定理 352

15.5　逻辑归约为计算 355

15.6　可计算枚举集 357

15.7　图灵机 359

15.8　半群的字问题 365

15.9　附注 370

第 16章　不完全性 375

16.1　从不可解性到不可证性 376

16.2　句法的算术化 377

16.3　根岑对PA一致性的证明 380

16.4　算术中暗含的ε0 384

16.5　可构造性 387

16.6　算术概括 390

16.7　弱柯尼希引理 392

16.8　五大子系统 394

16.9　附注 396

参考文献 397

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证明 历史 思想

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摘要：《证明的故事：从勾股定理到现代数学》是澳大利亚数学史学家约翰·史迪威的重要代表作之一。这部作品以“证明”为核心线索，串联起从古代数学萌芽到现代数学体系形成的发展历程。书中不仅展示了勾股定理、欧几里得几何、代数学和微积分等经典成果背后的逻辑结构，也揭示了数学家如何通过严密推理不断拓展人类认知的边界。与一般数学读物不同，本书并不满足于介绍结论，而是深入探讨结论产生的过程，让读者理解数学证明为何重要、如何形成以及怎样推动文明进步。通过丰富的历史案例、生动的人物故事和清晰的逻辑分析，作者将抽象的数学思想转化为引人入胜的知识旅程。阅读这部作品，不仅能够领略数学发展的壮阔图景，更能感受到证明精神所蕴含的理性力量，以及它在现代科学和社会发展中的深远影响。

证明思想历史源流

《证明的故事：从勾股定理到现代数学》的最大特色之一，在于将数学证明的发展放置于漫长的人类文明史中进行考察。作者从古埃及和巴比伦时期的数学实践谈起，说明早期数学更多是一种经验性知识，人们依靠观察和计算解决现实问题，却缺乏系统的理论证明。

随着古希腊文明的兴起，数学逐渐从经验走向理性。书中重点介绍了毕达哥拉斯学派对数学抽象化发展的贡献，他们首次尝试用逻辑推理解释数学规律，使数学不再只是计算工具，而成为探索真理的重要方式。

欧几里得的出现标志着证明体系的成熟。《几何原本》建立起公理、定义、命题和证明构成的严密结构，为后世数学奠定了基础。作者详细分析这一体系的创新意义，让读者看到逻辑推演如何成为数学发展的核心动力。

通过回顾这些历史阶段，书中揭示出一个重要事实：数学并非一开始就具备今天的严谨形式，而是在不断质疑、修正和完善中逐渐形成。这种历史视角使证明不再是枯燥的技术，而成为文明演进的重要成果。

勾股定理深层魅力

勾股定理是全书的重要起点，也是数学史上最具代表性的定理之一。作者通过丰富的历史材料说明，这一定理并非某位数学家的单独创造，而是多个文明共同探索的结果。从巴比伦泥板到中国《周髀算经》，都留下了相关思想的痕迹。

书中特别强调证明与发现之间的区别。许多古代文明已经掌握勾股关系的实际应用，但真正赋予其理论地位的，是对其进行逻辑证明的过程。正是证明使经验知识上升为普遍真理，获得超越具体情境的价值。

作者还介绍了历史上众多不同形式的勾股定理证明。从几何拼接到面积变换，再到代数推导，各种证明方法展现出数学思维的多样性。读者不仅能够理解定理本身，还能感受到不同证明背后的创造力。

通过勾股定理的发展历程，书中展现了数学思想如何从简单问题出发，逐步扩展到更广阔的理论领域。一个看似基础的定理，实际上连接着几何学、代数学乃至现代数学的许多重要分支。

现代数学演进轨迹

在介绍经典几何之后，作者将视野扩展到近代和现代数学的发展。随着代数学、解析几何和微积分的诞生，数学研究对象不断丰富，证明方法也随之发生深刻变化。

书中详细讲述笛卡尔、牛顿和莱布尼茨等重要人物的贡献。解析几何实现了几何与代数的统一，而微积分则为研究变化和运动提供了全新的工具。这些突破不仅改变了数学本身，也深刻影响了物理学和工程学的发展。

十九世纪以后，数学进入高度抽象化阶段。非欧几何的出现挑战了传统空间观念，集合论和抽象代数的建立进一步扩展了数学研究范围。作者通过生动案例说明，这些看似复杂的理论实际上源于对基础问题的持续追问。

现代数学的发展并非简单累积知识，而是不断重构思想框架的过程。书中展示了证明如何在每一次理论革命中发挥关键作用，使新的概念能够获得逻辑上的可靠支撑。

证明精神现实价值

约翰·史迪威并未将证明局限于数学课堂之中，而是将其视为一种具有普遍意义的思维方式。在他看来，证明体现的是对真理的追求，以及对论证过程的严格要求。

书中指出，现代科学的成功很大程度上依赖于证明精神。无论是物理学定律的建立，还是计算机算法的设计，都需要严密推理和逻辑验证。数学证明为这些领域提供了重要的方法论基础。

在信息爆炸的时代，证明精神显得尤为重要。面对海量信息和复杂观点，人们需要学会分析证据、检验逻辑，而不是盲目接受结论。作者认为，这种能力正是数学教育最宝贵的价值之一。

此外，证明还体现出理性文明的核心特征。它要求观点能够经受公开检验，强调事实与逻辑的重要性。这种精神不仅推动科学进步，也为现代社会的理性交流提供了重要保障。

通过大量历史案例和思想分析，本书让读者认识到，证明并非少数数学家的专属工具，而是一种能够帮助人们认识世界、理解规律和解决问题的普遍能力。

总结：

《证明的故事：从勾股定理到现代数学》以证明为主线，系统梳理了数学发展的历史脉络。从古代文明的经验计算到现代数学的高度抽象化理论，作者展现了数学知识形成的真实过程，也揭示了证明在其中不可替代的核心作用。书中丰富的历史细节和清晰的逻辑分析，使复杂的数学思想变得生动而易于理解。

更重要的是，这部作品超越了数学学科本身，向读者传递了一种理性思考的精神。证明不仅是数学方法，更是人类探索真理的重要途径。通过阅读本书，人们能够更加深刻地理解数学的文化价值，以及逻辑推理对于科学进步和社会发展的深远意义。

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