《数学分析选讲》数学与统计学院

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《数学分析选讲》数学与统计学院【文字版_PDF电子书_】

内容简介：

《数学分析选讲》以讲义形式从20世纪80年代开始在江西师范大学使用，之后不断创新和改进，旨在进一步提高学生的分析数学理论水平，深化数学分析的主要概念，掌握数学分析的内容和方法，培养严谨的科学态度，为今后的数学学习打下良好的基础;打破了通常“单元—多元”“极限—微分—积分—级数”系统，使这些内容互相渗透，综合考虑，注重揭示概念的实质和概念之间的联系以及综合应用能力的培养。内容包括映射、关系、实数域，函数极限及其计算技巧，连续与微分，级数，积分，曲线积分、曲面积分、场论。语言上，尽可能接近现代数学的观点;内容上，着重处理了分析中的一些难点，注意加强基本技能的训练和培养;力求清楚明确，便于自学。

本书既可作为高等院校数学类专业高年级本科生“数学分析选讲”课程的教材，又可作为考研复习指导材料，同时也可作为教师的教学参考书。

目  录：

前言

第1章 映射、关系、实数域

1.1 映射、关系

1.1.1 一些常用的符号

1.1.2 映射

1.1.3 关系

习题 1.1

1.2 有理数集的性质及其缺陷

1.2.1 有理数集Q的基本性质

1.2.2 有理数序列的极限

1.2.3 有理数基本序列

习题 1.2

1.3 实数的康托尔构造

1.3.1 实数的定义

1.3.2 实数的运算

1.3.3 实数的序

1.3.4 实数的完备性

习题 1.3

1.4 实数集上的几个等价定理

1.4.1 魏尔斯特拉斯的单调有界定理

1.4.2 柯西-康托尔的闭区间套定理

1.4.3 戴德金的分割定理

1.4.4 确界定理

1.4.5 海涅–博雷尔的有限覆盖定理

1.4.6 魏尔斯特拉斯的聚点定理

1.4.7 波尔查诺的致密性定理

1.4.8 柯西收敛准则

习题 1.4

第2章 函数极限及其计算技巧

2.1 函数的极限

2.1.1 一元函数的极限

2.1.2 一元函数极限的性质

习题 2.1

2.2 Rn上的点集及多元函数的极限

2.2.1 Rn上的点集

2.2.2 多元函数的极限

习题 2.2

2.3 上极限与下极限

2.3.1 数列的上极限与下极限

2.3.2 上、下极限的性质

2.3.3 函数的上、下极限

习题 2.3

2.4 阶的估计

2.4.1 基本概念

2.4.2 有关Ο与ο的基本运算法则

2.4.3 几个基本方式及应用

习题 2.4

2.5 施托尔茨定理及其推广

2.5.1 施托尔茨定理

2.5.2 洛必达法则

2.5.3 特普利茨定理

习题 2.5

第3章 连续与微分

3.1 连续与一致连续

3.1.1 连续与一致连续的概念

3.1.2 连续函数的性质

3.1.3 一致连续的条件

3.1.4 运算法则

习题 3.1

3.2 导数、微分中值定理

3.2.1 有关导数的几个特性

3.2.2 可导与连续

3.2.3 微分中值定理及其推广

习题 3.2

3.3 不等式与凸函数

3.3.1 几个例子

3.3.2 凸函数

习题 3.3

3.4 方向导数、偏导数及全微分

3.4.1 方向导数和偏导数

3.4.2 全微分

3.4.3 混合偏导的一个问题

3.4.4 含有导数、偏导数式子的变量代换

习题 3.4

3.5 隐函数理论

3.5.1 压缩映像原理

3.5.2 隐函数定理

3.5.3 反函数组与坐标变换

3.5.4 雅可比行列式的性质

习题 3.5

第4章 级数

4.1 一致收敛性与累次极限

4.1.1 函数列的一致收敛性

4.1.2 累次极限

4.1.3 二元函数的一致收敛性

习题 4.1

4.2 等度连续

习题 4.2

4.3 数项级数和二重级数

4.3.1 数项级数

4.3.2 平均求和

4.3.3 二重级数

习题 4.3

4.4 函数项级数的一致收敛性

习题 4.4

4.5 三角函数系与傅里叶级数

习题 4.5

第5章 积分

5.1 黎曼可测集

习题 5.1

5.2 黎曼积分

习题 5.2

5.3 连续函数的积分

习题 5.3

5.4 积分计算举例

习题 5.4

5.5 广义积分

5.5.1 一元函数的广义积分

5.5.2 广义重积分

习题 5.5

5.6 含参数积分

5.6.1 含参数正常积分

5.6.2 含参数广义积分

5.6.3 含参数广义积分的性质

5.6.4 欧拉积分

习题 5.6

第6章 曲线积分、曲面积分、场论

6.1 曲线积分

6.1.1 曲线及其长度

6.1.2 第一型曲线积分

6.1.3 第二型曲线积分

习题 6.1

6.2 曲面积分

6.2.1 曲面及其面积

6.2.2 第一型曲面积分

6.2.3 第二型曲面积分

习题 6.2

6.3 几类积分之间的关系

6.3.1 两类曲线积分之间的关系

6.3.2 两类曲面积分之间的关系

6.3.3 平面线积分与二重积分之间的关系

6.3.4 空间曲面积分与三重积分之间的关系

6.3.5 曲面积分与曲线积分之间的关系

习题 6.3

6.4 场论

6.4.1 场的概念

6.4.2 梯度、散度和旋度

6.4.3 微分恒等式

习题 6.4

参考文献

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数学分析

摘要：《数学分析选讲》作为数学与统计学院的重要课程教材，承载着数学基础理论与分析方法的系统讲解。本书不仅强调数学思维的严谨性，还注重将抽象理论与实际应用相结合，帮助学生建立完整的数学分析框架。文章从教材内容特色、教学理念与方法、学术研究价值以及学生学习收获四个方面，对《数学分析选讲》进行了全面解析。全文通过层层递进的方式，揭示了该教材在培养逻辑推理能力、数学建模能力和科研创新能力上的独特作用，为学习者提供了系统的学习路径和方法指导，展示了数学分析在现代科学研究中的核心地位与实践意义。

1、教材内容特色

《数学分析选讲》在内容设置上体现了系统性与层次性的结合。教材从基础概念入手，逐步引导学生掌握极限、连续、导数、积分等核心内容，每一章节都紧密衔接，保证了知识体系的完整性。

教材不仅包含传统数学分析的经典定理，还增加了丰富的例题与应用案例，使理论与实践相辅相成。通过实例，学生能够理解抽象概念在实际问题中的具体应用，增强学习的直观性和趣味性。

章节安排遵循由浅入深、由易到难的逻辑，同时在每一部分设置了适量的练习题和思考题，帮助学生巩固所学知识，并激发其自主探究能力，为后续高级数学课程奠定坚实基础。

2、教学理念与方法

教材在教学理念上强调“理解优先，应用辅导”的原则。通过系统化讲解与逐步推导，使学生不仅掌握计算技巧，更理解背后的逻辑结构和思想方法。

教师在使用该教材进行课堂教学时，常采用启发式教学方法，通过提出问题、分析问题和解决问题的流程，引导学生主动思考，培养严密的数学推理能力和独立分析问题的能力。

教材还特别注重培养学生的自学能力。每章附有参考阅读和扩展材料，鼓励学生通过查阅文献、动手计算和小组讨论等方式，加深对数学分析理论和方法的理解。

3、学术研究价值

《数学分析选讲》不仅是教学工具，更是科研启蒙的桥梁。教材所涵盖的数学分析方法在微分方程、数值分析、概率统计等领域有广泛应用，为学生后续的科研活动提供理论支持。

教材中的例题和习题设计不仅注重基础训练，还涉及一定的研究性问题，鼓励学生尝试独立思考与探索，提升数学建模和科研创新能力。

此外，教材对数学分析历史背景和发展脉络的简要介绍，帮助学生理解理论的形成过程和学术意义，使学习不再局限于公式计算，而是深入到数学学科的整体框架中。

4、学生学习收获

通过系统学习《数学分析选讲》，学生能够建立起扎实的数学分析基础，掌握逻辑推理、问题建模、抽象思维等关键能力，这为未来的科研和工作奠定了坚实基础。

学习过程中，教材的层次化设计使学生能够循序渐进地提升自我认知水平，从基础概念到复杂问题逐步掌握，提高自主学习能力和解决问题的独立性。

教材注重培养学生综合应用能力。通过练习题和案例分析，学生不仅掌握了数学分析理论，还能够将知识应用到实际问题中，增强实践能力与创新意识。

总结：

《数学分析选讲》在教材内容、教学理念、学术研究价值及学生学习收获四个方面均表现出高度的系统性与实用性。教材通过严谨的理论阐述与丰富的实践案例，使学生在学习数学分析的过程中逐步建立完整的知识体系和科学思维能力。

综合来看，该教材不仅是数学与统计学院教学的重要资源，也是学生学术成长与科研探索的重要工具。其在培养逻辑思维、分析能力以及创新能力方面发挥了不可替代的作用，为数学学习者提供了全面的知识支持和实践指导。

本文由nayona.cn整理

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