《数学的100个基本问题（新版）》靳平

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《数学的100个基本问题（新版）》靳平【文字版_PDF电子书_】

内容简介：

《数学的100个基本问题》是一本专为中学生和大学低年级学生设计的数学读物，也是一本为青少年数学爱好者打造的思维进阶指南。全书精选100个兼具经典性与挑战性的数学问题，引导读者深入探索数学的奥秘。本书收录的100个问题，虽然表面上看似简单，实则蕴含了丰富的数学思想和技巧，许多问题曾在历史上引起过数学大师们的浓厚兴趣。通过这些问题，读者不仅能够学习到数学的基础知识，还能体验到数学发现的过程，激发对数学深层次理解的兴趣。每个问题都附有详细的解析和背景介绍，帮助读者理解其数学价值和历史意义。 书中通过拆解费马定理、哥尼斯堡七桥等经典命题，带领读者亲历数学家的思考现场，感受抽象思维与逻辑推演的魔力。每道题目不仅配有清晰解析，更穿插数学史脉络，让读者在破解难题的过程中，同步领悟数学发展的深层规律与人文精神。无论是渴望突破解题瓶颈的中学生，还是希望重塑数学认知的大学生，本书都将带你体验数学最本真的乐趣与创造力。

作者简介：

靳平，山西大学数学与统计学院教授、博士生导师。研究方向为有限群及其表示论，主要成果发表在Adv. Math. 和 J. Alg. 等国际着名数学期刊上，主持多项国家自然科学基金面上项目，多次应邀在国内外群论会议上做大会报告。 李秀萍，山西财经大学应用数学学院副教授，研究方向为有限群。 郝水平，山西财经大学应用数学学院讲师。

目  录：

一、算术问题 //1

001 算术基本定理 //2

002 中国剩余定理 //4

003 牛吃草问题 //7

004 费马数 //8

005 梅森数 //10

006 完全数 //12

007 亲和数 //15

008 素数的表达公式 //16

009 素数定理 //18

010 与勾股定理有关的一个数论问题 //21

011 丢番图问题 //24

012 指数为3的费马大定理 //26

013 费马大定理 //35

014 威尔逊定理 //38

015 线性同余方程 //39

016 欧拉函数φ(n)//41

017 原根问题 //44

018 二次剩余和欧拉准则 //47

019 二次互反律 //50

020 二平方和问题 //53

021 四平方和问题 //56

022 华林问题 //59

023 多边形数 //60

024 哥德巴赫猜想 //61

025 孪生素数猜想 //65

026 圆内整点问题 //66

027 卡塔兰猜想 //67

028 3x+1问题 //68

029 超越数之谜 //70

二、代数与组合问题 //72

030 三十六名军官问题 //73

031 柯克曼的女生问题 //74

032 哈密尔顿四元数 //78

033 华罗庚定理 //80

034 华罗庚恒等式 //85

035 算术几何不等式 //88

036 平均问题 //90

037 整值多项式 //91

038 高斯本原多项式 //95

039 各阶导数只有整数根的多项式 //97

040 克罗内克多项式 //98

041 代数基本定理 //101

042 笛卡儿符号法则 //104

043 多项式的实根个数 //106

044 多项式在平面区域内根的个数 //109

045 多项式的有理根问题 //111

046 一个来自群论中的数论问题 //112

047 对称多项式 //114

048 一般三次方程的求根公式 //115

049 一般四次方程的求根公式 //119

050 高次方程的求根公式 //120

051 方程的根式解问题 //124

052 阿达马矩阵 //134

三、几何与拓扑问题 //136

053 历时半个世纪的一道平面几何难题 //137

054 拿破仑三角形 //137

055 费马向托里拆利提出的问题 //138

056 欧拉直线 //139

057 海伦公式 //140

058 托勒密定理 //144

059 埃尔多斯定理 //145

060 公共点问题 //147

061 平面和空间的最大分割数 //149

062 正方棱雉问题 //150

063 欧拉平面网络公式 //151

064 正多面体 //153

065 立方倍积问题 //156

066 化圆为方问题 //158

067 三等分任意角问题 //159

068 正十七边形作图问题 //160

069 黄金分割问题 //164

070 欧几里得第五公设 //166

071 什么是非欧几何 //168

072 阿基米德螺线 //170

073 尼科梅德斯蚌线 //173

074 割圆曲线 //174

075 哥尼斯堡七桥问题 //176

076 蜂房问题 //178

077 四色问题 //180

078 皮亚诺曲线 //182

079 等周问题 //183

080 一个拓扑问题 //184

四、分析问题 //186

081 最优美的数学公式 //187

082 斐波那契兔子问题 //189

083 正整数的方幂求和 //190

084 求所有正整数平方的倒数之和 //194

085 e的无理性 //196

086 π的无理性 //198

087 e的超越性 //200

088 一个极值问题 //202

089 无处可导的连续函数 //203

090 欧拉常数 //204

091 最速下降问题 //205

092 黎曼猜想 //206

五、集合论与数学史问题 //209

093 实数比正整数多吗 //210

094 超限算术 //212

095 连续统假设 //213

096 第一次数学危机 //214

097 第二次数学危机 //216

098 第三次数学危机 //219

099 希尔伯特的23个数学问题 //221

100 数学中的诺贝尔奖 //225

人名索引 //227

参考文献 //235

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经典问题 思维进阶 数学史

摘要：《数学的100个基本问题（新版）》以数学发展中的核心问题为主线，通过通俗易懂的语言和循序渐进的讲解方式，将抽象的数学知识转化为读者能够理解和思考的内容。靳平在书中精选了一百个具有代表性的数学问题，涵盖数与代数、几何与空间、概率与统计、逻辑与思维等多个领域，不仅展现了数学知识体系的完整结构，也揭示了数学在人类文明发展中的重要作用。作品既注重基础知识的普及，又强调数学思想的培养，使读者能够在解决问题的过程中体会数学的魅力。通过对经典问题的分析与解答，书中展示了数学从简单到复杂、从具体到抽象的发展规律，引导读者建立科学严谨的思维方式。无论是数学爱好者、学生群体，还是希望提升逻辑能力的普通读者，都能够从中获得启发。这部作品不仅是一部数学知识读物，更是一部帮助读者认识世界、理解规律、提升思维品质的重要著作。

经典问题系统呈现

《数学的100个基本问题（新版）》最大的特点之一，在于其以问题为核心构建内容体系。书中所选取的一百个问题并非随意排列，而是经过精心筛选和科学组织，形成了一条清晰的知识脉络。读者在阅读过程中，能够逐步感受到数学知识之间的内在联系。

这些问题覆盖了数学学科的重要领域，从最基础的数字概念到较为复杂的数学模型，都有相应内容进行阐释。通过一个个具体问题的引入，抽象的数学理论变得更加直观，降低了学习门槛，使读者能够循序渐进地理解相关知识。

书中的许多问题来源于数学发展的重要阶段，具有深厚的历史背景和学术价值。通过了解这些问题的提出过程和解决历程，读者不仅能够掌握知识本身，还能了解数学发展的历史轨迹，从而对数学形成更全面的认识。

这种以问题驱动学习的方法，能够有效激发读者的求知欲。当读者面对一个看似简单却蕴含深刻原理的问题时，会自然产生探索和思考的兴趣，从而主动参与到数学学习过程中。

数学思想深入解析

相比单纯介绍公式和定理，本书更加注重数学思想的传递。靳平在讲解过程中，始终强调数学思维的重要性，使读者不仅知道答案是什么，更理解为什么会得到这样的答案。

在分析问题时，作者经常从不同角度展开讨论，引导读者寻找规律、建立模型、验证结论。这种思维训练有助于培养逻辑推理能力，使读者逐渐掌握数学分析的方法，而不仅仅停留在记忆知识的层面。

书中涉及归纳法、演绎法、类比法等多种数学思维方式。通过大量实例展示，这些原本抽象的思维工具变得具体可感。读者能够在阅读中学会如何发现问题、分析问题以及解决问题。

数学思想的价值不仅体现在学科内部，更能够迁移到现实生活和工作之中。通过阅读本书，读者可以逐步形成严谨、理性和系统化的思考习惯，这对于提升综合素质具有重要意义。

知识普及通俗易懂

数学常常被认为是一门高深而难懂的学科，而《数学的100个基本问题（新版）》则努力打破这种刻板印象。作者采用平实自然的语言，将复杂的数学概念转化为容易理解的内容，使不同层次的读者都能够顺利阅读。

在介绍专业知识时，书中避免使用过于晦涩的术语，而是通过生活中的实例进行说明。例如，在讲述概率问题时，会结合现实中的随机现象进行分析；在解释几何原理时，也会联系日常生活中的空间结构进行说明。

这种贴近生活的表达方式，使数学不再停留于课本和公式之中，而成为与现实世界紧密相连的知识体系。读者能够在熟悉的场景中发现数学规律，从而增强学习兴趣和理解能力。

此外，书中的内容安排注重层次递进。每一个问题的讲解都遵循由浅入深的原则，先建立基础认知，再逐步引入更深层次的内容。这样的设计有效降低了阅读难度，提高了知识吸收效率。

现实价值与启发意义

《数学的100个基本问题（新版）》不仅关注数学知识本身，更重视数学在现实世界中的应用价值。书中通过大量案例说明，数学早已渗透到社会发展的各个领域，成为推动科技进步的重要力量。

从工程建设到金融分析，从信息技术到人工智能，数学都发挥着基础支撑作用。通过阅读本书，读者能够认识到数学并非脱离现实的抽象学问，而是一种理解世界、改造世界的重要工具。

书中还强调了数学对于创新能力培养的重要作用。许多重大科学发现和技术突破，都离不开数学方法的支持。掌握数学思维，能够帮助人们更好地分析复杂问题，寻找创新解决方案。

对于青少年读者而言，本书具有积极的启蒙作用。它能够帮助学生突破对数学的畏难心理，建立学习信心，并在不断探索问题的过程中培养独立思考能力和创新意识。

对于成年人而言，这本书同样具有重要价值。它不仅能够帮助读者重新认识数学，还能够提升逻辑判断能力、数据分析能力以及科学决策能力，从而在工作和生活中受益。

总结：

《数学的100个基本问题（新版）》以问题为纽带，以思想为核心，以普及为目标，构建了一部兼具知识性、趣味性和启发性的数学读物。书中通过一百个经典问题，系统展示了数学知识的结构与发展过程，让读者能够在探索问题的过程中理解数学的本质与价值。

从知识传播到思维训练，从兴趣培养到能力提升，这部作品都展现出了独特的魅力。靳平通过深入浅出的表达方式，使数学走出抽象符号的世界，成为人人都能够接近和理解的智慧学科，为广大读者打开了一扇认识数学、探索规律、提升思维的窗口。

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